Zeminde Kayma Mukavemeti Nedir?

Farklı çevre basınçlarında kırılan numunelerin Mohr daireleri ve bunlara teğet Mohr-Coulomb kırılma zarfı.

Mohr-Coulomb teorisi, bir zeminin kayma mukavemetini kohezyon (c) ve içsel sürtünme açısına (φ) bağlı doğrusal bir zarfla ifade eder: τ = c + σ·tanφ. Efektif gerilme cinsinden yazıldığında (τ = c' + σ'·tanφ'), bu zarf drenajlı davranışı temsil eder; killerde kısa vadeli, drenajsız yüklemede ise tüm dayanım tek bir parametreyle, drenajsız kayma mukavemetiyle (cu, φu = 0) ifade edilir. Hangi parametre setinin kullanılacağı, arazideki yükleme hızı ile zeminin drenaj hızı arasındaki ilişkiye bağlıdır.

1776’da bir Fransız askeri mühendis, tasarladığı toprak istihkamların neden zaman zaman göçtüğünü anlamaya çalışıyordu. Charles-Augustin de Coulomb’un sorduğu soru basitti: bir zemin kütlesi, hangi koşulda kayar?

Cevabı iki asırdan fazla süredir hâlâ kullanılıyor. Bugün her şev stabilitesi analizinde, her taşıma gücü hesabında karşımıza çıkan $c$ ve $\phi$ parametreleri, doğrudan Coulomb’un 1776 tarihli bu çalışmasına uzanır.

Coulomb’un Sürtünme Modeli ve Mohr’un Genellemesi

Coulomb, bir zemin kütlesinin kayma direncini iki bileşene ayırdı: danelerin birbirine temas noktalarındaki sürtünme ve ince daneli zeminlerde danelerin birbirini çekmesinden kaynaklanan kohezyon. Bu basit ama güçlü fikir, bir asır sonra Alman mühendis Otto Mohr tarafından genel bir gerilme durumuna uyarlandı: Mohr, 1900’de herhangi bir noktadaki gerilme durumunun bir daire ile (Mohr dairesi) temsil edilebileceğini ve kırılmanın, bu daire belirli bir zarfa değdiği anda gerçekleştiğini gösterdi.

Coulomb’un yatay sürtünme bağıntısı ile Mohr’un gerilme dairesi birleştirildiğinde ortaya Mohr-Coulomb kırılma zarfı çıktı.

Mohr-Coulomb Kırılma Zarfı

Bir zeminin kayma mukavemeti, kırılma anındaki normal gerilmeye ( $\sigma$ ) bağlı doğrusal bir zarfla ifade edilir:

\tau

Burada $\tau$ kırılma anındaki kayma gerilmesini (kayma mukavemetini), $c$ kohezyonu, $\sigma$ kırılma düzlemine etkiyen normal gerilmeyi, $\phi$ içsel sürtünme açısını temsil eder. Bu doğru, $\sigma$ - $\tau$ eksen takımında düşey ekseni $c$ noktasından keser ve yatayla $\phi$ açısı yapar.

Görsel 1 — Mohr-Coulomb kırılma zarfı: düşey ekseni c noktasından keser, yatayla φ açısı yapar.

Bir önceki yazıda ele aldığımız efektif gerilme prensibi burada devreye girer: zeminin gerçek davranışını yöneten, toplam normal gerilme değil efektif gerilmedir. Bu nedenle zarf, efektif gerilme cinsinden şu şekilde yazılır:

\tau

Burada $c'$ ve $\phi'$ , efektif kohezyon ve efektif içsel sürtünme açısı olarak adlandırılır ve zeminin gerçek, drenaj koşulundan bağımsız mukavemet parametreleridir.

Üç Zemin Türü, Üç Zarf

Kayma mukavemeti parametrelerine göre zeminler üç grupta incelenir: kohezyonsuz zeminler ( $c' = 0$ , $\phi' \neq 0$ — temiz kum ve çakıl gibi), kohezyonlu zeminler ( $c' \neq 0$ , $\phi' \approx 0$ — bazı yumuşak killer) ve genel/karma zeminler ( $c' \neq 0$ , $\phi' \neq 0$ — killi kum, siltli çakıl gibi).

Kırılma Düzlemi Açısı

Mohr dairesi geometrisinden, kırılmanın zeminde her düzlemde değil, en büyük asal gerilme doğrultusuyla belirli bir açı yapan düzlemde gerçekleştiği görülür. Bu açı:

\theta = 45^\circ + \frac{\phi}{2}

ile ifade edilir; $\theta$ , en büyük asal gerilme ( $\sigma$ ) düzlemine göre ölçülen kırılma düzlemi açısıdır. $\phi$ arttıkça kırılma düzlemi, en büyük asal gerilme doğrultusuna daha dik bir açıya yaklaşır. Bu ilişki, hem laboratuvar deneylerinde gözlenen kırılma yüzeyinin doğrulanmasında hem de şev stabilitesi ve taşıma gücü analizlerinde kayma yüzeyinin geometrisini kestirmede kullanılır.

Bu geometri, Mohr dairesi üzerinde doğrudan görülebilir: kırılma zarfına teğet olan daire, iki asal gerilmeyi ( $\sigma$ ve $\sigma$ ) $\sigma$ ekseni üzerinde keser; dairenin merkezinden teğet noktasına çizilen yarıçap, $\sigma$ doğrultusuyla $2\theta$ açısı yapar. Düzlemdeki gerçek $\theta$ açısının Mohr dairesindeki iki katına çıkmasının nedeni budur.

Görsel 2 — Mohr dairesi: kırılma zarfına teğet olduğu nokta, kırılma düzlemindeki gerçek gerilme durumunu (σ, τf) verir.

Drenajlı ve Drenajsız Kayma Mukavemeti

Buraya kadar anlatılanlar, zeminin gerçek (efektif) mukavemet parametrelerini ( $c'$ , $\phi'$ ) konu alıyordu. Ama sahada her zaman bu parametrelerle çalışmak mümkün ya da pratik değildir; çünkü boşluk suyu basıncının ( $u$ ) ölçülmesi veya tahmin edilmesi, özellikle killerde, kolay değildir.

Bunun çözümü, zeminin yükleme hızı ile drenaj hızı arasındaki ilişkiye bakmaktır:

Kum ve çakıl gibi geçirgen zeminlerde: Yükleme sırasında oluşan fazla boşluk suyu basıncı neredeyse anında dağılır (drene olur). Bu yüzden bu tür zeminlerde pratikte her zaman drenajlı (efektif gerilme) koşullar geçerlidir ve $c'$ , $\phi'$ parametreleri doğrudan kullanılır.
Kil gibi geçirimsiz zeminlerde, ani yükleme altında (örneğin inşaat sonrası kısa vade, deprem): Boşluk suyunun dağılması için yeterli zaman yoktur; yük tamamen boşluk suyu basıncı artışı olarak karşılanır. Bu drenajsız durumda zeminin mukavemeti, efektif gerilmedeki değişimden bağımsız, tek bir parametreyle ifade edilir: drenajsız kayma mukavemeti ( $c$ ), ve bu durumda görünür içsel sürtünme açısı sıfır kabul edilir ( $\phi$ ).

\tau

Hangi Parametre Seti, Hangi Analiz İçin?

Kısa vadeli (inşaat sonu, ani yükleme) analizlerde killerde toplam gerilme analizi ( $c$ , $\phi$ ) kullanılır. Uzun vadeli davranış (konsolidasyon tamamlandıktan sonra) veya kum/çakıl gibi hızlı drene olan zeminlerde ise efektif gerilme analizi ( $c'$ , $\phi'$ ) esas alınır. Yanlış parametre setinin seçilmesi, taşıma gücü veya şev stabilitesi hesabında ciddi hatalara yol açar.

Bu parametreler laboratuvarda iki temel deneyle belirlenir: kesme kutusu (direkt kesme) deneyi, numuneyi önceden belirlenmiş yatay bir düzlem boyunca kesmeye zorlayarak kayma direncini ölçer ve kesme hızı ayarlanarak drenajlı ya da drenajsız koşullar simüle edilebilir. Üç eksenli basınç deneyi ise numuneyi bir hücre basıncı altında tutarken eksenel yükü artırarak göçmeye götürür; drenaj valfleri açık ya da kapalı tutularak konsolidasyonlu-drenajlı (CD) veya konsolidasyonlu-drenajsız (CU) koşullar elde edilebilir ve CU deneyinde boşluk suyu basıncı ölçülerek hem toplam hem efektif gerilme parametreleri tek deneyden çıkarılabilir.

Sonuç

Mohr-Coulomb teorisi, iki asır önce bir istihkam mühendisinin sürtünme gözleminden doğdu ve bir asır sonra Mohr’un gerilme dairesiyle birleşerek bugünkü halini aldı. Zeminin kayma mukavemeti, kohezyon ve içsel sürtünme açısına bağlı doğrusal bir zarfla ifade edilir; bu zarfın efektif gerilme cinsinden mi ( $c'$ , $\phi'$ ) yoksa toplam gerilme cinsinden mi ( $c$ , $\phi$ ) yazılacağı, sahadaki yükleme hızı ile zeminin drenaj kapasitesi arasındaki yarışa bağlıdır. Doğru parametre setinin seçimi (drenajlı mı, drenajsız mı) kayma mukavemeti teorisinin en kritik pratik kararıdır.