GerilmeGerilmeBir kesite etkiyen iç kuvvetin, kesit alanına bölünmesiyle elde edilen, malzemenin iç direncini ifade eden temel mukavemet büyüklüğü. dönüşümü denklemleri, bir noktadaki gerilmenin, incelenen kesitin açısına göre sürekli değiştiğini gösterir. Bu sürekli değişim içinde iki özel doğrultu vardır: birinde normal gerilmeNormal GerilmeBir kesit düzlemine dik yönde etkiyen, çekme veya basınç olarak ortaya çıkan gerilme türü. mümkün olan en büyük değerine, diğerinde ise mümkün olan en küçük değerine ulaşır ve her ikisinde de kayma gerilmesiKayma GerilmesiBir kesit düzlemine paralel etkiyen, iki bitişik malzeme katmanını birbirine göre kaydırmaya çalışan gerilme türü. tamamen kaybolur. Bu iki özel doğrultudaki gerilmelere asal gerilmeler denir.

Bu yazı, asal gerilmelerin ve bunların oluştuğu doğrultunun nasıl bulunduğunu ele alıyor.

Asal Gerilmelerin Tanımı

σxσyτxyσ1σ2θpx1
Görsel 1 - Figure 1 - Orijinal eksen takımındaki gerilme elemanı (σx, σy, τxy, düz çizgi) ve θp kadar döndürülmüş asal gerilme elemanı (σ1, σ2, kesikli çizgi). Asal düzlemlerde kayma gerilmesi sıfırdır.

Asal gerilmeler, bir noktadaki gerilme durumunun, kayma gerilmesinin sıfır olduğu düzlemlerde ortaya çıkan normal gerilme değerleridir[1]Hibbeler, R. C. (2017). Mechanics of Materials (10. baskı). Pearson.. Düzlem gerilme durumunda bu değerler şu formülle bulunur[1]Hibbeler, R. C. (2017). Mechanics of Materials (10. baskı). Pearson.:

σ1,2=σx+σy2±(σx−σy2)2+τxy2\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}

Burada σ1\sigma_1 büyük asal gerilmeyi, σ2\sigma_2 küçük asal gerilmeyi; σx\sigma_x, σy\sigma_y ve τxy\tau_{xy} ise orijinal eksen takımındaki bilinen gerilme bileşenlerini ifade eder. Bu formül, gerilme dönüşümü denklemindeki normal gerilme ifadesinin, açıya göre en büyük ve en küçük olduğu noktalar aranarak elde edilir[2]Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T. ve Mazurek, D. F. (2014). Mechanics of Materials (7. baskı). McGraw-Hill..

Asal Doğrultunun Bulunması

Asal doğrultular, dönüştürülmüş kesitte kayma gerilmesinin sıfır olduğu yönlerdir[2]Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T. ve Mazurek, D. F. (2014). Mechanics of Materials (7. baskı). McGraw-Hill.. Bu koşul gerilme dönüşümüne uygulandığında ilgili açı için şu bağıntı elde edilir:

tan⁡2θp=2τxyσx−σy\tan 2\theta_p = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}

Bağıntının çözümleri θp\theta_p ve θp+90°\theta_p + 90° birbirine dik iki yön verir. Bunlar asal düzlemlerdir; birinde σ1\sigma_1, diğerinde σ2\sigma_2 bulunur ve her iki düzlemde kayma gerilmesi sıfırdır[2]Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T. ve Mazurek, D. F. (2014). Mechanics of Materials (7. baskı). McGraw-Hill..

Maksimum Kayma Gerilmesi

Asal düzleme göre 45° konumdaki doğrultuda normal gerilme, iki asal gerilmenin ortalamasına eşit olur; aynı konumda kayma gerilmesi en büyük değerini alır[1]Hibbeler, R. C. (2017). Mechanics of Materials (10. baskı). Pearson.:

τmax=(σx−σy2)2+τxy2=σ1−σ22\tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2} = \frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}

Gevrek malzemelerde çatlama değerlendirmesi asal çekme gerilmesiyle, sünek malzemelerde akma değerlendirmesi ise çoğunlukla bu maksimum kayma gerilmesiyle ilişkilendirilir[1]Hibbeler, R. C. (2017). Mechanics of Materials (10. baskı). Pearson..

Sonuç

Asal gerilmeler, bir noktadaki gerilme durumunun kayma içermeyen özel doğrultularda aldığı en büyük ve en küçük normal gerilme değerleridir.

  • Tanım: Kayma gerilmesinin sıfır olduğu düzlemlerdeki en büyük ve en küçük normal gerilmelerdir.
  • Asal doğrultu: Gerilme dönüşümündeki kayma ifadesi sıfıra eşitlenerek bulunan, birbirine dik iki doğrultudur.
  • Maksimum kayma: Asal düzlemlerden 45° dönmüş doğrultuda oluşur ve iki asal gerilmenin farkının yarısına eşittir.

Bu değerlerin trigonometrik denklemler çözülmeden, doğrudan bir grafik üzerinden okunmasını sağlayan araç, Mohr dairesidir (Görsel 2).

στxyσ1σ2τmax2θp
Görsel 2 - Figure 2 - Mohr dairesi. Yatay eksen normal gerilmeyi (σ), düşey eksen kayma gerilmesini (τ) gösterir. x ve y noktalarını birleştiren doğru orijinal gerilme durumunu; dairenin σ eksenini kestiği σ1 ve σ2 noktaları asal gerilmeleri; en üst nokta ise τmax’ı verir.
Sıkça Sorulan Sorular
Asal gerilme nedir?

Asal gerilmeler, kayma gerilmesinin sıfır olduğu özel doğrultulardaki normal gerilmelerdir. Bu doğrultularda normal gerilme mümkün olan en büyük ve en küçük değerlerine ulaşır.

Asal gerilmeler nasıl hesaplanır?

Düzlem gerilme durumunda asal gerilmeler, normal gerilme bileşenleri ile kayma gerilmesi bileşeninin birlikte yer aldığı gerilme dönüşümü formülüyle bulunur. Formülün artı işaretli sonucu büyük, eksi işaretli sonucu küçük asal gerilmeyi verir.

Asal doğrultu nasıl bulunur?

Asal doğrultu, gerilme dönüşümündeki kayma gerilmesi ifadesi sıfıra eşitlenerek bulunur. Denklem birbirine dik iki çözüm verir ve bu doğrultular asal düzlemleri gösterir.

Maksimum kayma gerilmesi asal gerilmelerle nasıl ilişkilidir?

Maksimum kayma gerilmesi, asal düzlemlerden 45 derece dönmüş doğrultuda oluşur. Değeri, büyük ve küçük asal gerilmelerin farkının yarısına eşittir.

Asal gerilme ile maksimum kayma gerilmesi arasındaki fark nedir?

Asal gerilmelerin oluştuğu düzlemlerde kayma gerilmesi sıfırdır ve normal gerilme en büyük veya en küçük değerindedir. Maksimum kayma gerilmesi ise bu düzlemlerden 45 derece dönmüş doğrultuda ortaya çıkar; bu doğrultuda normal gerilme asal gerilmelerin ortalamasıdır.