Asal Gerilmeler Nasıl Bulunur?

GerilmeGerilmeBir kesite etkiyen iç kuvvetin, kesit alanına bölünmesiyle elde edilen, malzemenin iç direncini ifade eden temel mukavemet büyüklüğü. dönüşümü denklemleri, bir noktadaki gerilmenin, incelenen kesitin açısına göre sürekli değiştiğini gösterir. Bu sürekli değişim içinde iki özel doğrultu vardır: birinde normal gerilmeNormal GerilmeBir kesit düzlemine dik yönde etkiyen, çekme veya basınç olarak ortaya çıkan gerilme türü. mümkün olan en büyük değerine, diğerinde ise mümkün olan en küçük değerine ulaşır ve her ikisinde de kayma gerilmesiKayma GerilmesiBir kesit düzlemine paralel etkiyen, iki bitişik malzeme katmanını birbirine göre kaydırmaya çalışan gerilme türü. tamamen kaybolur. Bu iki özel doğrultudaki gerilmelere asal gerilmeler denir.

Bu yazı, asal gerilmelerin ve bunların oluştuğu doğrultunun nasıl bulunduğunu ele alıyor.

---

Asal Gerilmelerin Tanımı

Asal gerilmeler, bir noktadaki gerilme durumunun, kayma gerilmesinin sıfır olduğu düzlemlerde ortaya çıkan normal gerilme değerleridir[1][1]Hibbeler, R. C. (2017). Mechanics of Materials (10. baskı). Pearson.. Düzlem gerilme durumunda bu değerler şu formülle bulunur[1][1]Hibbeler, R. C. (2017). Mechanics of Materials (10. baskı). Pearson.:

$$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$$

Burada $\sigma_1$ büyük asal gerilmeyi, $\sigma_2$ küçük asal gerilmeyi; $\sigma_x$, $\sigma_y$ ve $\tau_{xy}$ ise orijinal eksen takımındaki bilinen gerilme bileşenlerini ifade eder. Bu formül, gerilme dönüşümü denklemindeki normal gerilme ifadesinin, açıya göre en büyük ve en küçük olduğu noktalar aranarak elde edilir[2][2]Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T. ve Mazurek, D. F. (2014). Mechanics of Materials (7. baskı). McGraw-Hill..

---

Asal Doğrultunun Bulunması

Asal gerilmelerin oluştuğu açı, gerilme dönüşümü denklemindeki kayma gerilmesi ifadesi sıfıra eşitlenerek bulunur[2][2]Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T. ve Mazurek, D. F. (2014). Mechanics of Materials (7. baskı). McGraw-Hill.:

$$\tan 2\theta_p = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}$$

Bu denklem, birbirine dik iki çözüm ($\theta_p$ ve $\theta_p + 90°$) verir; bu iki doğrultu, asal düzlemlerdir. Bu düzlemlerden birinde $\sigma_1$, diğerinde $\sigma_2$ oluşur ve her iki düzlemde de kayma gerilmesi sıfırdır[2][2]Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T. ve Mazurek, D. F. (2014). Mechanics of Materials (7. baskı). McGraw-Hill..

---

Maksimum Kayma Gerilmesi

Asal düzlemlerden tam 45° dönmüş bir doğrultuda ise, kayma gerilmesi kendi mümkün olan en büyük değerine ulaşır[1][1]Hibbeler, R. C. (2017). Mechanics of Materials (10. baskı). Pearson.:

$$\tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2} = \frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}$$

Bu doğrultuda normal gerilme sıfır değildir; iki asal gerilmenin ortalamasına eşittir. Gevrek bir malzemenin çatlama riski asal çekme gerilmesiyle, sünek bir malzemenin akma riski ise çoğunlukla bu maksimum kayma gerilmesiyle ilişkilendirilir[1][1]Hibbeler, R. C. (2017). Mechanics of Materials (10. baskı). Pearson..

Sonuç

Asal gerilmeler, bir noktadaki gerilme durumunun kayma içermeyen özel doğrultularda aldığı en büyük ve en küçük normal gerilme değerleridir.

• Tanım: Kayma gerilmesinin sıfır olduğu düzlemlerdeki en büyük ve en küçük normal gerilmelerdir.
• Asal doğrultu: Gerilme dönüşümündeki kayma ifadesi sıfıra eşitlenerek bulunan, birbirine dik iki doğrultudur.
• Maksimum kayma: Asal düzlemlerden 45° dönmüş doğrultuda oluşur ve iki asal gerilmenin farkının yarısına eşittir.

Bu değerlerin trigonometrik denklemler çözülmeden, doğrudan bir grafik üzerinden okunmasını sağlayan araç, Mohr dairesidir.