Denge Denklemleri Nedir?

Denge denklemleri, bir rijit cismin ne öteleme ne de dönme hareketi yapmaması için üzerindeki tüm kuvvetlerin ve momentlerin toplamının sıfır olması gerektiğini söyler. İki boyutlu bir problemde bu koşul, biri momentle ilgili olmak üzere üç bağımsız skaler denklemle (ΣFx=0, ΣFy=0, ΣM=0) ifade edilir. Kuvvet denklemlerinden biri veya ikisi, uygun koşullar altında farklı noktalara göre alınan moment denklemleriyle de değiştirilebilir.

Bir masanın üzerinde duran bir kitaba etkiyen tek kuvvet yer çekimi olsaydı, kitap sürekli aşağı doğru düşerdi. Oysa kitap hareketsiz durur, çünkü masa yüzeyi de kitaba eşit büyüklükte, yukarı yönlü bir kuvvetle karşılık verir ve bu iki kuvvetin toplamı sıfırlanır. Ama yalnızca kuvvetlerin toplamının sıfır olması, bir cismin hareketsiz kalması için yeterli değildir; cisim aynı zamanda dönmemelidir de. Bu iki koşulu birlikte ifade eden araç, statiğin denge denklemleridir.

Bu yazı, denge denklemlerinin ne olduğunu, hangi koşulu ifade ettiğini ve iki boyutlu problemlerde nasıl kurulduğunu ele alıyor.

Denge Kavramı: Öteleme ve Dönme

Bir rijit cismin dengede olduğu kabul edilmesi için, üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin bileşkesinin ve tüm momentlerin bileşkesinin ayrı ayrı sıfıra eşit olması gerekir:

\sum \vec{F} = 0, \qquad \sum \vec{M} = 0

Bu iki koşul birbirinden bağımsızdır ve ikisinin de sağlanması gerekir. Yalnızca $\sum \vec{F} = 0$ koşulu sağlanıp $\sum \vec{M} \neq 0$ ise, cisim yer değiştirmez ama üzerine bir kuvvet çifti (moment) etkidiği için döner; dolayısıyla dengede sayılmaz. Aynı şekilde bir cisim dönmüyor olsa bile net bir kuvvet altındaysa ötelenmeye başlar. Denge, bu iki hareket türünün de gerçekleşmediği durumdur.

İki Boyutlu Denge Denklemleri

Bir düzlem içinde kalan (iki boyutlu) problemlerde, yukarıdaki vektörel koşul üç bağımsız skaler denkleme ayrılır:

\sum F_x = 0, \qquad \sum F_y = 0, \qquad \sum M = 0

Burada $\sum F_x$ ve $\sum F_y$ , sırasıyla yatay ve düşey eksendeki kuvvet bileşenlerinin cebirsel toplamını; $\sum M$ ise seçilen bir noktaya göre alınan momentlerin toplamını ifade eder. Bir sistemde en fazla üç bilinmeyen bu üç denklemle doğrudan çözülebilir; bilinmeyen sayısı üçü aştığında sistem yalnızca denge denklemleriyle çözülemez.

Alternatif Denklem Takımları

Moment denklemi, herhangi bir noktaya göre yazılabildiğinden, bazı problemlerde iki kuvvet denklemi yerine iki moment denklemi kullanmak işlemi kolaylaştırır. Buna göre denge, aşağıdaki takımlardan biriyle de ifade edilebilir:

Bir kuvvet, iki moment denklemi: $\sum F_x = 0$ , $\sum M_A = 0$ , $\sum M_B = 0$ (A ve B noktalarını birleştiren doğru, $x$ eksenine dik olmamalıdır).
Üç moment denklemi: $\sum M_A = 0$ , $\sum M_B = 0$ , $\sum M_C = 0$ (A, B ve C noktaları aynı doğru üzerinde olmamalıdır).

Bu alternatiflerin geçerli olabilmesi için belirtilen geometrik koşulun sağlanması gerekir; aksi halde üç denklem birbirinden bağımsız olmaz ve sistem tam olarak çözülemez.

Sonuç

Denge denklemleri, bir rijit cismin hareketsiz kalabilmesi için sağlanması gereken matematiksel koşulu ifade eder.

Denge koşulu: Bir cismin dengede olması için hem kuvvetlerin hem de momentlerin toplamı ayrı ayrı sıfır olmalıdır.
İki boyutlu denklemler: ΣFx=0, ΣFy=0 ve ΣM=0 biçiminde üç bağımsız skaler denklemle ifade edilir.
Alternatif takımlar: Belirli geometrik koşullar altında kuvvet denklemlerinin yerini moment denklemleri alabilir.

Bu denklemlerin bir sisteme doğru uygulanabilmesi, önce o sistemin çevresinden ayrılıp üzerindeki tüm dış etkilerin eksiksiz gösterildiği bir serbest cisim diyagramının çizilmesini gerektirir.