Gerilme Nedir? Normal ve Kayma Gerilmesi, Formül ve Örnek

Aynı 20 kN çekme kuvveti, kesit alanı 200 mm² olan bir çubukta 100 MPa; 400 mm² olan diğerinde 50 MPa ortalama gerilme oluşturur. Yük değişmediği hâlde ortaya çıkan bu fark, kuvvetin ne kadar alana dağıldığının önemini gösterir. Gerilme hesabı, seçilen kesitteki iç kuvveti ve bu kuvveti taşıyan alanı birlikte ele alır.

Gerilmenin Fiziksel Anlamı

Bir çubuğu düşünsel olarak kestiğimizde iki parça birbirine kuvvet uygulamaya devam eder. Kesitteki bu etkileşim, alan boyunca dağılmıştır. Gerilme, bu yayılı iç kuvvetin birim alana düşen yerel değerini tanımlar. Cismin tamamına etkiyen dış yük ile belirli bir kesitteki gerilme aynı büyüklük değildir.

Dış Yükten Kesit İç Kuvvetine

Hesaba, incelenen parçanın denge denklemlerini kurarak başlanır. Kesitteki normal kuvvet, kesme kuvveti ve momentler bu dengeden bulunur. Çubuğun iki ucundan zıt yönlerde 20 kN ile çekilmesi, aradaki kesitte 40 kN oluştuğu anlamına gelmez: kesitin bir tarafının dengesinde normal kuvvet 20 kN’dur.

Yerel ve Ortalama Gerilme

Küçük bir alan üzerindeki kuvvetin, alan sıfıra yaklaşırken birim alana düşen limiti yerel gerilmeyi verir. Kuvvetin kesite dik ve teğetsel bileşenleri için:

\sigma=\lim_{\Delta A\to0}\frac{\Delta F_n}{\Delta A}, \qquad \tau=\lim_{\Delta A\to0}\frac{\Delta F_t}{\Delta A}

$\Delta A$ küçük alanı, $\Delta F_n$ dik kuvvet bileşenini, $\Delta F_t$ ise incelenen teğetsel doğrultudaki bileşeni gösterir. Kuvvet dağılımı kesit boyunca değişebileceğinden, toplam kuvveti toplam alana bölmek ortalama gerilmeyi verir. Bu ortalama, yerel maksimuma eşit olmak zorunda değildir.

Kesilmiş elemanın aynı düşey kesitinde normal gerilme okları kesite dik, kayma gerilmesi okları kesite paralel gösteriliyor. — Görsel 1 - Figure 1 - Normal ve kayma gerilmesi, kuvvetin seçilen kesit düzlemine göre ayrılan bileşenleridir. Şemada kesilmiş elemanın yalnızca bir tarafı gösterilmiştir.

Normal Gerilme: Çekme ve Basınç

Kesite dik iç kuvvet bileşeninin oluşturduğu normal gerilme, elemanın çekilmesi veya sıkıştırılmasıyla ilişkilidir. Merkezi eksenel yüklemede ortalama değer:

\sigma_{\mathrm{ort}}=\frac{N}{A}

Burada $N$ kesitteki normal kuvvet, $A$ bu kuvveti taşıyan kesit alanıdır. Newton ve mm² kullanıldığında sonuç N/mm², yani MPa olur.

Çekme, Basınç ve İşaret Kabulü

Bu yazıda çekme pozitif, basınç negatif alınmıştır. Dolayısıyla aynı 200 mm² kesitte 20 kN çekme için +100 MPa, 20 kN basınç için −100 MPa bulunur. Eksi işareti tek başına bir hata veya yetersizlik göstermez; seçilen işaret kabulü içinde etkinin yönünü belirtir. Farklı disiplin ve yazılımların işaret kabulleri ayrıca kontrol edilir.

N/A Ne Zaman Kesitteki Dağılımı Temsil Eder?

Merkezi eksenel yük taşıyan, prizmatik ve homojen bir çubukta yük uygulama bölgelerinden yeterince uzakta düzgün dağılım kabulü yapılabilir. Delik, ani kesit değişimi veya eksantrik yük varsa aynı basit kabul her noktada geçerli değildir. Eğilmenin de bulunduğu bir kesitte $N/A$ , normal gerilmenin yalnızca eksenel kuvvetten gelen ortalama bileşenidir.

Kayma Gerilmesi ve Kesme Alanı

Kayma gerilmesi, kesit düzlemine paralel kuvvet bileşenidir. Bir pimin birbirine bağladığı levhalar zıt yönlerde çekildiğinde, pim üzerinde oluşan kesme etkisi bu kavram için somut bir örnektir.

Ortalama Kayma Gerilmesi

Basit bir kesme hesabında:

\tau_{\mathrm{ort}}=\frac{V}{A_s}

$V$ incelenen kesme düzlemindeki kuvvet, $A_s$ o düzlemin alanıdır. Bir kirişteki yerel kayma gerilmesi dağılımı gibi daha ayrıntılı problemlerde yalnızca $V/A_s$ yeterli değildir. Bağıntı, kesit ortalamasını veya tanımlanan basitleştirilmiş bağlantı modelini verir.

Tek ve Çift Kesmede Alan

Tek kesmede pimde bir, çift kesmede iki kesme düzlemi vardır. Dairesel pimin bir düzlemdeki alanı $A_p=\pi d^2/4$ olur. Simetrik çift kesmede toplam yükün iki düzleme eşit dağıldığı kabul edilirse her düzlem $P/2$ taşır; ortalama gerilme $P/(2A_p)$ olur. İki düzlem bulunması, her gerçek bağlantıda eşit yük paylaşımını kendiliğinden garanti etmez.

Gerilme Birimleri ve Dönüşümleri

Gerilmenin boyutu kuvvet/alandır. SI birimi pascal olup $1\ \mathrm{Pa}=1\ \mathrm{N/m^2}$ eşitliği geçerlidir. Yapı mühendisliğinde MPa ve kPa daha kullanışlı büyüklüklerdir.

Tablo 1 - Table 1 - Gerilme hesaplarında kullanılan birimler ve eşitlikler.
Gösterim	Eşitliği	Hesapta kullanım
1 Pa	1 N/m²	Temel SI birimi
1 kPa	1 kN/m²	Zemin gerilmelerinde sık kullanılır
1 MPa	1 N/mm² = 1.000 kPa	Malzeme ve kesit hesapları
1 kN/cm²	10 MPa	Kuvvet ve alan birlikte dönüştürülür

Alan dönüşümünde uzunluk dönüşümünün karesi kullanılır: 1 cm = 10 mm iken 1 cm² = 100 mm² olur. Örneğin 20 kN / 2 cm² işlemi 10 kN/cm², yani 100 MPa verir. 20 sayısını doğrudan 200 mm²’ye bölüp sonucu MPa diye yazmak, kN ile N arasındaki 1.000 katı kaçırır.

Gerilme Kesitte Her Yerde Aynı mıdır?

Düzgün gerilme dağılımı bir model kabulüdür. Eğilme altında kesitin bir tarafında çekme, diğer tarafında basınç oluşabilir. Normal kuvvetin sıfır olduğu saf eğilme durumunda bile yerel normal gerilmeler sıfır değildir; çekme ve basınç etkilerinin bileşkesi birbirini dengeler.

Delik veya çentik çevresinde kuvvetin aktarıldığı geometri değişir ve yerel gerilme artışları oluşabilir. Net alanla bulunan ortalama, bu tepe değerini kendiliğinden vermez. Bu nedenle bir hesapta kullanılan gerilmenin ortalama mı, yerel mi olduğu belirtilmelidir.

Kesit düzleminin yönü değiştiğinde aynı noktadaki normal ve kayma bileşenleri de değişebilir. Bu durumun ayrıntısı asal gerilmeler ve gerilme dönüşümü konularında ele alınır; burada bileşenlerin seçilen kesite bağlı olduğunu bilmek yeterlidir.

Çözümlü Gerilme Hesapları

Örnek 1: Dikdörtgen Kesitli Çubuk

Deliksiz kesiti 10 × 20 mm olan prizmatik çubuk, merkezinden 20 kN çekme taşımaktadır. Yük uygulama bölgesinden uzaktaki kesitte düzgün dağılım kabul edilsin:

A=10\times20=200\ \mathrm{mm^2}

\sigma_{\mathrm{ort}}=\frac{20.000}{200}=100\ \mathrm{N/mm^2}=100\ \mathrm{MPa}

Bu sonuç çubuktaki ortalama çekme gerilmesidir. Çubuğun yeterli olup olmadığına karar vermek için malzeme, tasarım yaklaşımı, bağlantı ve diğer sınır durumları ayrıca bilinmelidir.

Örnek 2: Kesit Alanı İki Katına Çıkarsa

Aynı 20 kN kuvvet, 20 × 20 mm kesite uygulansın:

A=400\ \mathrm{mm^2}, \qquad \sigma_{\mathrm{ort}}=\frac{20.000}{400}=50\ \mathrm{MPa}

Kuvvet sabitken alan iki katına çıktığı için ortalama gerilme yarıya iner. Burada çubuğun boyu formüle girmez; ancak uzama ve burkulma gibi başka davranışlarda boy belirleyicidir. Gerilmenin azalması, bu diğer kontrollerin otomatik olarak sağlandığını göstermez.

Aynı 20 kN eksenel kuvvet altındaki 10 × 20 mm ve 20 × 20 mm kesitlerde ortalama gerilme sırasıyla 100 ve 50 MPa. — Görsel 2 - Figure 2 - İki örneğin kesitleri aynı ölçekte çizilmiştir. Karşılaştırma merkezi çekme ve düzgün dağılım kabulüne dayanır.

Örnek 3: Pim Bağlantısında Tek ve Çift Kesme

Çapı 20 mm olan dolu bir pim, toplam 12 kN yük aktarsın:

A_p=\frac{\pi\times20^2}{4}=314{,}16\ \mathrm{mm^2}

Tek kesmede:

\tau_{\mathrm{ort}}=\frac{12.000}{314{,}16}=38{,}20\ \mathrm{MPa}

Simetrik çift kesmede her düzlem 6 kN taşır:

\tau_{\mathrm{ort}}=\frac{12.000}{2\times314{,}16}=19{,}10\ \mathrm{MPa}

Bu hesap yalnızca pimin ortalama kesme gerilmesini verir. Levhaların ezilmesi, net kesit kopması, kenar yırtılması ve pimin eğilmesi gibi bağlantı kontrolleri ayrıca yapılır. Çift kesmenin avantajı, bu örnekte toplam yükün iki kesme alanına paylaştırılmasıdır.

Tek kesmede bir levha arayüzü P yükünü, simetrik çift kesmede iki arayüz ayrı ayrı P/2 yükünü taşıyor; 20 mm pimde 38,20 ve 19,10 MPa hesaplanıyor. — Görsel 3 - Figure 3 - Tek ve çift kesmeli pim bağlantılarının yandan şematik görünümü. Pembe kesikli çizgiler kesme düzlemleridir; çift kesmede eşit yük paylaşımı kabul edilmiştir.

Gerilme, Dayanım ve Şekil Değiştirme

Dayanım, malzemenin belirli bir sınır duruma karşı gösterdiği direnci tanımlar. Gerilme ise yükleme ve taşıyıcı düzen nedeniyle hesaplanan etkidir. Aynı MPa birimiyle ifade edilmeleri, aynı kavram oldukları anlamına gelmez. Örneğin 100 MPa çekme gerilmesini değerlendirirken ilgili malzemenin çekme davranışı ve seçilen tasarım kuralları gerekir; yalnızca sayının büyüklüğüne bakılarak güvenlik sonucu çıkarılamaz.

Birim şekil değiştirme, uzama veya kısalmanın başlangıç boyuna oranıdır ve boyutsuzdur. Gerilme ile ilişkisi malzeme davranışına bağlıdır. Aynı merkezi eksenel kuvveti taşıyan, aynı kesit alanındaki statikçe belirli iki çubuğun malzemeleri farklı olsa da $N/A$ ortalamaları aynıdır; uzamaları farklı olabilir. İç kuvvetlerin rijitliğe göre paylaşıldığı sistemlerde ise malzeme değişimi kuvvet dağılımını da etkileyebilir.

Basınç da kuvvet/alan boyutundadır. Bununla birlikte gerilme, seçilen düzleme göre normal ve kayma bileşenleri içerebilir; akışkandaki hidrostatik basınç bu genel tanımla aynı kapsamda değildir.

Hesapta Sık Yapılan Hatalar

İç kuvveti bulmadan alana bölmek: Önce kesitin bir tarafının dengesi kurulmalıdır.
Kesme düzlemlerini yanlış saymak: Her bağlantıda iki alan bulunduğu varsayılamaz.
Alan birimini yanlış dönüştürmek: cm² ile mm² arasında 100 kat vardır.
Ortalama değeri yerel maksimum sanmak: Delik, çentik ve eğilme etkileri ayrıca incelenir.
Basınçta yalnızca N/A kontrolü yapmak: Kararlılık problemi, kesit gerilmesi düşükken de belirleyici olabilir.

Sonuç

Bir gerilme hesabının anlaşılabilmesi için incelenen kesit, bu kesitteki iç kuvvet, kuvveti taşıyan alan ve dağılım kabulü birlikte verilmelidir. Normal ve kayma gerilmesini ayırmak, kuvvetin kesite göre yönünü belirlemekle başlar. Çözümlü örneklerde bulunan ortalama değerler, birim ve kesme alanı doğru seçildiğinde kolayca kontrol edilebilir; yapısal yeterlilik ise ilgili diğer sınır durumlarıyla birlikte değerlendirilir.

Sıkça Sorulan Sorular

Gerilme ile basınç aynı şey midir?

İkisinin de boyutu kuvvet/alandır; kapsamları aynı değildir. Gerilme, seçilen kesitte normal ve kayma bileşenleriyle ifade edilir. Akışkandaki hidrostatik basınç, bu genel gerilme tanımının özel bir durumudur.

Aynı yükü taşıyan çelik ve alüminyum çubuklarda gerilme aynı mıdır?

Aynı kesit alanında, aynı merkezi eksenel kuvveti taşıyan statikçe belirli çubukların ortalama normal gerilmesi aynıdır. Malzemeleri farklı olduğundan uzamaları farklı olabilir. Kuvvet dağılımının rijitliğe bağlı olduğu sistemlerde bu sonuç doğrudan genellenemez.

100 MPa gerilme yüksek midir?

Bu sayı tek başına bir yeterlilik ölçütü değildir. Gerilmenin türü, malzeme dayanımı, yükleme koşulları ve kullanılan tasarım kuralları birlikte değerlendirilir.

Normal kuvvet sıfırken normal gerilme oluşabilir mi?

Evet. Saf eğilmede normal kuvvetin bileşkesi sıfır olabilirken kesitin farklı noktalarında çekme ve basınç gerilmeleri bulunabilir. N/A yalnızca eksenel kuvvetten doğan ortalama bileşeni verir.

Kaynaklar ve İleri Okuma

[1]Hibbeler, R. C. (2017). Mechanics of Materials, 10. baskı. Pearson. Gerilme, eksenel yük ve ortalama kayma gerilmesi.
[2]Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T. ve Mazurek, D. F. (2014). Mechanics of Materials, 7. baskı. McGraw-Hill. Gerilme kavramı ve bağlantılarda kesme.
[3]TÜBA Açık Ders. Bölüm 1: Gerilme ve yamulma. Gerilme vektörü, bileşenleri, birimleri ve işaret kabulleri.
[4]Ondokuz Mayıs Üniversitesi. Normal Gerilme ve Birim Şekil Değişimi, 2. hafta ders notları.

Yapı Tasarım Akademisi

Gerilme Nedir? Normal ve Kayma Gerilmesi, Formüller ve Örnekler