Zaman Tanım Alanında Analiz Nedir?

Daha önceki yazılarımda, standart yapılar için deprem sırasındaki saniyelik değişimlerden ziyade (Zaman Tanım Alanında Analiz), binanın vereceği maksimum tepkinin basit tasarımlarımız için yeterli olduğundan bahsetmiştim. Ancak bu durum, sıradan ve yüksek titreşim modlarının yapıyı çok etkilemediği düzenli binalar için geçerlidir.

Söz konusu olan asimetrik, düzensiz veya çok yüksek katlı önemli mühendislik yapıları olduğunda, yüksek modların davranışı da işin içine girer. Bu gibi durumlarda, maksimum tepkiyi bulup geçemeyiz; depremin (veya rüzgarın) her bir anında (saniyesinde) yapının nasıl bir tepki verdiğini adım adım incelememiz gerekir. İşte bir yapının dinamik bir dış yük altında, zamana bağlı olarak gösterdiği tepkilerin saniye saniye hesaplanmasına Zaman Tanım Alanında Analiz diyoruz.

Bu analiz türünde yapıya etkiyen kuvvet (ister deprem ivmesi olsun, ister rüzgar) sabit bir sayı değil, zamana bağlı bir fonksiyon olan p(t)‘dir.

Sonlu Elemanlar Metodunda (FEM) Çözüm Yöntemleri

Sonlu elemanlar programlarında (SAP2000, ETABS, ANSYS vb.) zaman tanım alanında hesap yapmak için genellikle iki ana yaklaşım kullanılır:

Mod Birleştirme Yöntemi: Sistemin sadece belirli sayıdaki titreşim modları kullanılarak tepkilerin toplanmasıdır. (Lineer sistemlerde çok etkilidir).
Doğrudan İntegrasyon Yöntemi: Hareket denkleminin hiçbir transformasyona (modlara ayrıştırmaya) maruz kalmadan, orijinal haliyle adım adım çözülmesidir. Özellikle doğrusal olmayan (non-lineer) analizlerde mecburidir.

Bu yazıda, Doğrudan İntegrasyon yöntemlerinin biri olan Newmark Metodu’nu inceleyeceğiz. Neden mi Newmark? Çünkü geçmişte sıfırdan yazdığım kendi sonlu elemanlar (FEM) programımda, algoritmik yapısı ve esnekliği nedeniyle bu metodu kullanmıştım. Gelin bu metodun mantığına ve yazdığım programdan elde ettiğim çıktılara birlikte bakalım.

Zaman Tanım Alanında Analiz Yöntemleri

Doğrudan İntegrasyon ve Adım Adım Çözüm

“Direkt Integrasyon” ismindeki direkt kelimesi, sistemin hareket denkleminin olduğu gibi kullanıldığını ifade eder:

m \cdot \ddot{u} + c \cdot \dot{u} + k \cdot u = p(t)

Bu metotlarda denklemin sınır şartları, saniyenin kesirleri kadar küçük belirli zaman aralıklarında sağlanır. Bu aralıklara Time Step (Zaman Adımı - Δt) denir. İki zaman adımı arasında neler olduğu (ivmenin nasıl değiştiği) ise sayısal (nümerik) kabullerle hesaplanır.

Newmark Yöntemi (β ve γ Parametreleri)

1959 yılında Nathan M. Newmark tarafından geliştirilen bu yöntem, günümüzde yapı dinamiği yazılımlarının kalbini oluşturur. Ancak her problemde gözü kapalı kullanılamaz; analizi yapan mühendisin arka planda dönen matematiği bilmesi şarttır.

Newmark metodu, gelecekteki yer değiştirmeyi ( $u_{i+1}$ ) ve hızı ( $\dot{u}_{i+1}$ ) hesaplamak için iki temel parametre kullanır: γ (Gamma) ve β (Beta).

Bu parametreler, iki zaman adımı (Δt) arasında ivmenin ( $\ddot{u}$ ) formunun nasıl değişeceğini belirler. Yaptığınız seçime göre analiz yöntemi isim değiştirir. En çok kullanılan iki varyasyonu şunlardır:

Ortalama (Sabit) İvme Yöntemi

İki zaman adımı arasındaki ivmenin sabit kaldığı ve ivmelerin ortalamasının alındığı kabul edilir.

Parametreler: γ=0.5 ve β=0.25
Stabilite: Bu yöntemin en muazzam özelliği şartsız stabil olmasıdır. Yani seçtiğiniz zaman adımı (Δt) ne kadar büyük olursa olsun, matematiksel sonuçlar sonsuza gidip patlamaz (stabil kalır). Sadece hassasiyetten ödün verirsiniz.

Doğrusal İvme Yöntemi

İki zaman adımı arasında ivmenin doğrusal (lineer) olarak değiştiği kabul edilir.

Parametreler: γ=0.5 ve β=1/6≈0.167
Stabilite: Bu yöntem şartlı stabildir. Yani analizin hata vermemesi ve sonuçların patlamaması için seçeceğiniz zaman adımının (Δt), yapının doğal periyodunun (Tn) belirli bir oranından daha küçük olması şarttır (Δt≤0.551⋅TnΔt≤0.551⋅Tn). Bu şartı sağlamak için çok daha küçük zaman adımları seçmeniz gerekir, bu da bilgisayarın yapacağı işlem sayısını ve analiz süresini ciddi şekilde artırır.

Zaman Adımı (Δt) Seçiminin Önemi ve Kod Çıktıları

Seçilen zaman adımı (Δt), hem analiz süresini hem de sonuçların doğruluğunu doğrudan etkiler. Zaman adımı ne kadar küçülürse, sonuçlar analitik gerçeğe o kadar yaklaşır. Ancak unutmayın; bir yöntemin stabil olması, onun doğru sonuç verdiği anlamına gelmez. Sadece denklemin hata verip çökmediği anlamına gelir. İdeal dengeyi bulmak mühendisin tecrübesine kalmıştır (Genellikle Δt≤0.1⋅TnΔt≤0.1⋅Tn pratik bir kuraldır).

Aşağıda, kendi yazdığım program üzerinden aldığım çıktıları görebilirsiniz:

Newmark sabit ivme metodu zaman-yer değiştirme çıktısı (Δt = 0.01 s) — Görsel 1 - Newmark Sabit İvme Metodu (Δt = 0.01 s) — karlı zaman-yer değiştirme çıktısı

Newmark doğrusal ivme metodu — büyük zaman adımında kararsız davranış (Δt = 0.01 s) — Görsel 2 - Newmark Doğrusal İvme Metodu (Δt = 0.01 s) — karasız (patlayan) davranış

Newmark doğrusal ivme metodu yakınsak çözümü — küçük zaman adımı (Δt = 0.00001 s) — Görsel 3 - Newmark Doğrusal İvme Metodu (Δt = 0.00001 s) — yakinsak ve karlı çözüm

(Görsel 1) Sabit İvme Metodu (Δt=0.01 sn): Gördüğünüz gibi metot şartsız stabil olduğu için grafik oldukça düzgün ve mantıklı sınırlar içinde salınım yapıyor.
(Görsel 2) Doğrusal İvme Metodu (Δt=0.01 sn): Aynı zaman adımıyla Doğrusal İvme metodunu çalıştırdığımızda stabilite şartı ihlal edildiği için sonuçlar patlıyor (kısa sürede sonsuza giden gerçek dışı deformasyonlar).
(Görsel 3) Doğrusal İvme Metodu (Δt=0.00001 sn): Doğrusal ivme metodunda stabil ve doğru bir sonuç alabilmek için zaman adımını inanılmaz derecede küçültmem (0.00001 saniye) gerekti. Bu da analizin çözülme süresini devasa oranda artırdı!

Zaman tanım alanında analiz yaparken yazılımın kara kutusuna körü körüne güvenmek yerine, arka plandaki γ, β ve Δt parametrelerinin ne işe yaradığını bilmek, sizi standart bir kullanıcıdan “Gerçek bir Mühendise” dönüştürür.