Yapı Dinamiğinde Rezonans Nedir? Binalar Depremde Niye Yıkılır?

Yapı dinamiğinde rezonans: doğal titreşim frekansı ile zorlayıcı frekansın çakışmasıyla titreşim genliğinin kritik ölçüde büyümesi.

Rezonans; bir yapının kendi doğal titreşim frekansının, deprem dalgalarının frekansıyla çakışması sonucu titreşim genliğinin katlanarak artması olayıdır. Bu yazıda hareket denkleminden TBDY 2018 tasarım spektrumuna, Fourier analizinden gerçek deprem vakalarına kadar rezonans kavramı teknik olarak ele alınmaktadır.

Rezonans Nedir? Temel Tanım

Tanım olarak rezonans; bir sistemin doğal titreşim periyodunun (veya frekansının), ona dışarıdan etkiyen kuvvetin periyodu ile birbirine çok yakın veya denk olması durumunda, sistemdeki titreşim genliğinin giderek artması olayıdır.

Genlik, tekrarlanan kuvvetlerin veya hareketin ulaştığı maksimum düzeyi ifade eder. Rezonansın ortaya çıkması için etkiyen kuvvetin (örneğin deprem dalgalarının) tekrarlı (dinamik) olması gerekir. Rezonans durumunda, deprem sırasında bir yapıda normalde çok küçük kalacak olan ivme değerleri (örneğin 0.1g), katlanarak artar ve yapının yıkılmasına neden olabilecek seviyelere ulaşır. Sistemin sönümleme oranı ne kadar yüksekse, rezonans kaynaklı bu genlik artışı o kadar sınırlandırılır.

Rezonans yalnızca binalara özgü bir olgu değildir. Bir çocuğun salıncağını doğru ritimde iterek genliğini artırması ya da bir opera sanatçısının sesiyle cam kırması; hepsi aynı fiziksel olgunun farklı yüzleridir. Depremlerde ise bu olgunun sonuçları ölümcül olabilmektedir.

Dinamik Sistemler ve Hareket Denklemi

Yay-kütle-sönümleyici sistemi (sismik sistem) — Görsel 1 - Yay-kütle-sönümleyici sismik sistem modeli — Yapparina, CC0 1.0, via Wikimedia Commons

Rezonansın neden oluştuğunu anlamak için öncelikle bir yapının dinamik olarak nasıl modellendiğine bakmalıyız. Dinamik sistemler temel olarak üç fiziksel parametreden oluşur:

Kütle (m): Yapının ağırlığından kaynaklanan ataletidir.
Rijitlik/Yay Katsayısı (k): Yapının yer değiştirmeye (esnemeye) karşı gösterdiği dirençtir.
Sönümleme Katsayısı (c): Yapının titreşim enerjisini sönümleme (sürtünme vb. yollarla) kapasitesidir.

Bu üç bileşen, yapı dinamiğinin en temel kuralı olan Hareket Denklemi’ni oluşturur:

m\ddot{u} + c\dot{u} + k \cdot u = P(t)

Bu denklemde; u deplasmanı (yer değiştirmeyi), u̇ hızı, ü ise ivmeyi ifade eder. Eşitliğin sol tarafı yapının kendi iç kuvvetlerini, sağ tarafındaki P(t) ise dışarıdan (zamanın bir fonksiyonu olarak) etkiyen deprem kuvvetini gösterir.

Önemli Detay

Buradaki ivme (ü), yer hareketinin kendi ivmesi değil, depremden dolayı yapıda meydana gelen göreli ivmedir.

Sisteme Etkiyen Kuvvetler Nelerdir?

Hareket denklemindeki her bir terim, yapıda oluşan farklı bir direnç kuvvetini temsil eder:

Atalet (Eylemsizlik) Kuvveti ( $m\ddot{u}$ ): Bir yapının hareket etmeye veya duruyorsa harekete geçmeye karşı koyduğu dirençtir. Giden bir arabanın aniden fren yapması sonucu öne savrulmamız bu yüzdendir.
Sönümleme Kuvveti ( $c\dot{u}$ ): Sistemde oluşan hıza karşı direnç gösteren, enerjiyi sönümleyen kuvvettir.
Yay (Rijitlik) Kuvveti ( $k \cdot u$ ): Sistemin deplasmana (şekil değiştirmeye) karşı gösterdiği dirençtir.

Faz Farkı: İvme, Hız ve Deplasman İlişkisi

Bir yapı depremde sallanırken ivme, hız ve deplasman aynı anda maksimum değere ulaşmaz. Aralarında zamansal bir kayma, yani faz farkı vardır:

Deplasman (yer değiştirme) grafiğini sıfırdan başlayan bir sinüs dalgası olarak düşünürsek; hız bu dalganın 90 derece, ivme ise 180 derece önünden gider.
Bunun fiziksel anlamı şudur: Binanın en çok esnediği (deplasmanın maksimum olduğu) uç noktalarda, bina anlık olarak durduğu için hız sıfırdır.
İvme ile deplasman birbirine tam zıttır. Biri pozitif yönde maksimuma ulaşırken, diğeri negatif yönde maksimumdadır.

Rezonans altında yer değiştirme–zaman grafiği: salınım genliğinin artışı — Görsel 2 - Deplasman (yer değiştirme) zaman grafiği

Rezonans altında hız–zaman grafiği: yer değiştirme ile 90° faz farkı — Görsel 3 - Hız zaman grafiği

Rezonans altında ivme–zaman grafiği: yer değiştirme ile 180° faz farkı — Görsel 4 - İvme zaman grafiği

Bu ilişki matematiksel olarak şu şekilde özetlenebilir:

Tablo 1 — Deplasman, Hız ve İvmenin Faz Farkı

Büyüklük	Dalga Formu	Faz
Deplasman $u(t)$	$\sin(\omega t)$	0°
Hız $\dot{u}(t)$	$\cos(\omega t)$	90° önde
İvme $\ddot{u}(t)$	$-\sin(\omega t)$	180° önde

Kuvvetlerin Dengesi ve Rezonansın Sırrı

İvme ve deplasmanın birbirine tam zıt yönlerde hareket ettiğini belirttik. Bu durum, atalet kuvveti (m·ü) ile yay kuvvetinin (k·u) de birbirine zıt çalıştığı anlamına gelir.

Dışarıdan etkiyen depremin frekansını yavaş yavaş artırdığımızı hayal edelim:

Düşük Frekanslarda: Ana direnç yay kuvvetinden (rijitlikten) gelir.
Yüksek Frekanslarda: Ana direnç atalet kuvvetinden (kütleden) gelir.
Rezonans Frekansında (Doğal Periyot): Öyle bir an gelir ki, birbirine zıt çalışan yay kuvveti ile atalet kuvveti birbirine eşitlenir ve birbirini sıfırlar.

İşte rezonans tam olarak budur! Bu iki ana kuvvet birbirini elediğinde, sistemi dışarıdan gelen devasa deprem enerjisine karşı koruyacak sadece sönümleme kuvveti ( $c\dot{u}$ ) kalır. Eğer yapının sönümleme kapasitesi yeterli değilse, titreşimler kontrolden çıkar ve bina ağır hasar alır veya yıkılır.

Önemli

Rezonans anında yapıyı koruyan tek güç sönümlemedir. Betonarme yapılarda bu değer tipik olarak %5 civarındadır. Zemin kattaki dolgu duvarların kaybı sönümlemeyi azaltır — bu yüzden yumuşak kat sorunu rezonans koşullarında özellikle yıkıcıdır.

Matematiksel olarak, bir yapının dinamik büyütme katsayısı (D) şu formülle ifade edilir:

D = \frac{1}{\sqrt{(1-\beta

Burada $\beta = \omega/\omega$ (uygulanan frekans / doğal frekans) ve $\zeta$ sönümleme oranıdır. $\beta = 1$ olduğunda (yani rezonans koşulunda) ve sönümleme ihmal edildiğinde $D$ teorik olarak sonsuza gider.

Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği (TBDY) 2018

TBDY 2018 elastik ivme tasarım spektrumu: rijitlik bölgesi, platform bölgesi ve periyot bölgeleri — Görsel 5 - TBDY 2018 tasarım spektrumu ve periyot bölgeleri

Yukarıda anlattığımız fiziksel gerçekler, TBDY 2018’deki tasarım (ivme) spektrumlarında üç ana bölgeye ayrılır. Spektrum grafiğine bakıldığında:

TA’ya kadar olan çok kısa periyotlu bölge: Yapının rijitliğinin hakim olduğu kısımdır.
TA ile TB arasındaki plato (tepe noktası): Rezonans etkisinin ve sönümleme kuvvetinin en belirleyici olduğu, yapıda en büyük ivmelerin meydana geldiği bölgedir.
TB’den sonraki uzun periyotlu bölgeler: Deplasmanın (yer değiştirmenin) hakim olmaya başladığı bölgelerdir.

TBDY 2018, TA ve TB değerlerini zemin sınıfına ve bölgeye göre belirler. Zemin ne kadar yumuşaksa (ZE, ZF sınıfları), spektrum o kadar sola kayar ve uzun periyotlu binalar daha büyük ivme değerleriyle karşılaşır. Bu, yumuşak zemindeki binaların neden daha fazla hasar gördüğünü doğrudan açıklar.

Sonuç

Rezonans, soyut bir fizik kavramı değil; depremlerde can ve mal kayıplarının arkasındaki somut mühendislik gerçekliğidir.

Bu yazıda öğrendiklerimizi özetlersek:

Her yapının bir doğal periyodu vardır ve bu değer kütle ile rijitliğe bağlıdır.
Yapının periyodu ile depremin baskın frekansı çakışınca rezonans oluşur; atalet ve rijitlik kuvvetleri birbirini sıfırlar, yalnızca sönümleme kuvveti kalır.
TBDY 2018’deki tasarım spektrumu bu gerçeği yönetmelik düzeyinde somutlaştırır.
Zemin yumuşadıkça bina-zemin rezonansı riski artar; bu nedenle zemin etüdü hayati önem taşır.

Türkiye, dünyanın en aktif deprem kuşaklarından birinin üzerinde yer almaktadır. Rezonans olgusunu anlamak, doğru yapı tasarımının, zemin araştırmasının ve güçlendirme kararlarının bilimsel temelini oluşturur.