Birçok mühendis modal analiz yapıyordur günlük olarak ancak kaçı yaptığı bu hesabın detaylarına hakimdir bilmiyorum. Bu yazımda da modal analizin tam olarak ne oldugunu açıklamak istedim.
Hareket Denklemi
Yapı dinamiğinin en temel denklemi Equation of Motion’dır, Türkçe’ye Hareket Denklemi olarak çevirebiliriz. Denklemi yazacak olursam:
m*a(t) + c*v(t)+ k*u(t) = P(t).
Burada m yapının kütlesini, a yapıda meydana gelen ivmeyi, c yapının sönümleme katsayısını, v yapıda meydana gelen hızı, k yapının elastik rijitliğini, u yapının yaptığı yer değişimini ve p de yapıya dışarıdan etkiyen kuvveti temsil ediyor. Bu denklemi deprem durumu için yazacaksak p yerine yer hareketinin ivmesini yazmamız gerekiyor.
Bir yapıyı depreme karşı tasarlarken bu denklemi kullanıyoruz. Bu denklemi ise farklı şekillerde çözebiliriz. Tasarladığımız yapılar da tek serbestlik dereceli değil de çok serbestlik dereceli sistemler olduğu için bu denklemin çözümü biraz zorlaşıyor. Bu durumda m ve k tek bir sayı değil de matriz olarak yazılıyor. Biz zaman tanım alanında da hesap yapabiliriz. Bu durumda a, v, u ve p zamana bağlı değişken oluyor. Genelde yapımızın bir yükleme altında her anındaki davranışından ziyade bizi maksimum değerleri daha çok ilgilendiriyor. Yani yapımızın depremin 17. saniyesinde yaptığı deplasmandan ziyade bu depremde yaptığı maks. deplasman daha çok ilgilendiriyor bizi. Bu nedenle de biz bu denklemi frekans alanında çözerek sadece maksimum değerleri elde edebiliriz.
Eigenvalue Analizi
Eigenvalue analizi sayesinde N serbestlik derecesine sahip sistemimizin N tane doğal titreşim periyodunu (natural frequency) ve N tane davranış modunu (mode shape) hesaplayabiliriz. Yani yukarıdaki Hareket Denklemini N tane birbirine bağli (coupled) denklem haline getirebiliriz. Bazı kabuller yaparak da bu N tane birbirine bağlı denklemi birbirinden bağımsız hale getirebiliriz. Bu kabuller ise:
- davranışın elastik olması
- klasik sönümleme olduğunu varsaymamız
- doğal titreşim periyotlarının birbirine çok yakın olmaması
Modal Analiz
Bu kabullerin geçerli olduğu durumlarda bu N denklemin birbirinden bağımsız olduğunu varsayabiliriz. Bu sayede de her modu tek tek analiz ederek ve her mod için istedigimiz tepki değerlerini hesaplayarak yapılması gereken işi bir hayli kolaylaştırmış oluruz.
Yapının komple davranışını hesaplamak için de her tepkinin (moment, yer değiştirme, kesme kuvveti vs) farklı modlardaki değerlerini toplayarak buluruz. Tek sorun her mod için bulduğumuz değerler aynı anda gerçekleşen değerler değil. Yani birinci mod için bulduğumuz maks. yer değiştirme yüklemenin 17. saniyesinde meydana geliyor olsun, ikinci mod için bulduğumuz maks. yer değiştirme de 4. saniyesinde meydana geliyor olsun. Siz bütün modların maks. değerlerini toplayıp da yapının maks. davranışı bu diyemezsiniz eğer frekans tanım alanında hesap yapıyorsanız. Bulduğunuz değer gerçekte olandan çok daha büyük olacaktır. Bu nedenle de farklı modlarda bulunan değerlerin hesaplanması için farklı kurallar geliştirilmiş. Bunlara mod birleştirme kuralları (Modal Combination Rules) deniyor ve en çok kullanılan iki tanesi SRSS ve CQC’dir. Bu kurallar hakkında daha detaylı bilgi almak isterseniz google’da aratabilirsiniz.
Kisaca yazıyı sonlandıracak olursam, birden çok serbestlik derecesine sahip sistemlerin her modunu ayrı ayrı analiz etmeye modal analiz deniyor.
Hatırlatma: Yazılan makalelerden haberdar olmak istiyorsanız, sosyal medya hesaplarımızı takip edebilirsiniz.
